由于射频(RF, radio frequency)能量收集(EH, energy harvesting)技术能够为能量受限网络提供几乎无限的能量供应，而无需定期对网络节点的蓄电装置进行充电或更换，因此近几年来能量收集认知中继网络(EH-CRNs, energy harvesting cognitive relay networks)引起了广泛关注^[1-9]。不同于文献[1-5]中的研究采用主发送端(PT, primary transmitter)或者次发送端为次用户(SU, secondary user)提供能量的方式，文献[6]将一种新的专用信号塔(PB, power-beacon)引入到无线能量传输方式中。该方式一经提出就引起众多学者兴趣，并被引入EH-CRNs。文献[7]采用PB为衬底式(underlay)单向多跳EH-CRNs提供能量。文献[8]则采用分布式多PB和多个PT同时为单向两跳EH-CRNs中的SU提供能量。而文献[9]则引入了一个能从周边环境收集能量的绿色PB为次网络(SN, sencondary network)的认知传感器提供能量。

为了提升SN性能，协作中继协议作为能有效实现网络延伸覆盖、传输分集以及节电传输的关键技术而得到广泛研究^[10-16]。在文献[10-13]中，基于单向中继节点的2种主动协作中继策略：机会中继选择(ORS, opportunistic relay selection)和部分中继选择(PRS, partial relay selection)被深入研究。为了在保持分集增益的同时能减少频谱效率的损失，单向中继逐步被双向中继取代。文献[14]提出了PN具有单个PT和主接收端(PR, primary receiver)，SN具有多个双向中继节点的两跳CRNs，并推导出了在PT干扰情况下采用ORS策略的SN中断概率。文献[15]则研究了采用ORS策略的具有单个PR和多个SN全双工中继节点的两跳CRNs。而文献[16]则讨论了采用ORS策略的具有多个PR和多个SN中继节点的两跳认知双向协作中继系统。

近来，同时采用中继协作和PB辅助能量传输技术的EH-CRNs成为了研究热点^[17-19]。文献[17]研究了采用ORS和PRS策略的具有单个窃听节点和多个单向中继节点的PB辅助两跳EH-CRNs。文献[18]则讨论了基于多个单向中继簇和多个PB辅助的多跳EH-CRNs。而文献[19]则提出了一个包含多个具有硬件损伤的SN单向中继节点和多个PR的多天线PB辅助能量传输两跳认知无线传感器网络。不同于以上研究中SN均采用单向中继节点，研究提出了包含多个SN双向中继节点和多个PR的PB辅助EH-CRNs，并推导出了在Rayleigh块衰落信道下采用ORS策略的SN中断概率的精确和渐近闭式解。

1 网络系统模型

网络模型如图 1所示。PN由M个PR节点PR_j，j∈{1, 2, …, M}组成。SN由A、B 2个源节点和N个中继节点R_i，i∈{1, 2, …, N}组成，每个节点均安装单天线，并采用半双工方式传输和接收信息。与文献[17, 18]类似，研究假设PT与SN的距离足够远，因此忽略PN对SN的干扰。SN采用衬底方式与PN共享频谱，即A和B利用SN的授权频谱，通过选定的中继节点采用译码转发(DF, Decode and forward)模式进行通信，忽略A和B之间的直连链路。安装了RF-EH装置的SN节点均从PB的控制信道RF信号中收集能量。PB的控制信道信号和SN节点间的信息传输信号工作在不同频段，不会相互干扰。网络采用独立Rayleigh块衰落信道，信道系数在一个时隙周期T内保持不变，而在不同时隙间独立变化^[3]。h_{A, Ri}、h_{B, Ri}、h_{Ri, A}和h_{Ri, B}分别表示节点A、R_i、B之间链路的信道系数，f_{PB, A}、f_{PB, Ri}和f_{PB, B}分别表示PB到节点A、R_i和B链路的信道系数，而g_{A, PRj}、g_{Ri, PRj}和g_{B, PRj}则分别表示节点A、R_i和B到PR_j链路的信道系数。信道增益|h_{A, Ri}|²、|h_{B, Ri}|²、|h_{Ri, A}|²、|h_{Ri, B}|²、|f_{PB, A}|²、|f_{PB, Ri}|²、f_{PB, B}|²、|g_{A, PRj}|²、|g_{Ri, PRj}|²和|g_{B, PRj}|²分别服从均值为1/λ_{A, Ri}、1/λ_{B, Ri}、1/λ_{Ri, A}、1/λ_{Ri, B}、1/β_A、1/β_Ri、1/β_B、1/ω_{A, PRj}、1/ω_{Ri, PRj}和1/ω_{B, PRj}的指数分布。例如λ_{A, Ri}=d_{A, Ri}^m，其中d_{A, Ri}为节点A到R_i的距离，m为路径损耗指数。为了简单起见，假设所有PR和R均分别紧绕2个不同的中心点布置^[3]。因此，A(R_i、B)到M个PR的链路以及PB到N个R的链路信道增益分别独立同分布(IID, Independently and identically distributed)，即ω_{A, PRj}=ω_A，ω_{Ri, PRj}=ω_R，ω_{B, PRj}=ω_B和β_Ri=β_R。同理，A、R_i、B之间链路的信道增益也分别IID，即λ_{A, Ri}=λ_{A, R}，λ_{B, Ri}=λ_{B, R}，λ_{Ri, A}=λ_{R, A}和λ_{Ri, B}=λ_{R, B}。

网络系统模型采用时分广播(TDBC, time division broadcasting)协议，其时隙结构如图 2所示。在每个时隙T开始的前αT时段(α为EH比率，0 < α < 1)，A、B和所有的中继节点同时从PB的RF信号中收集能量，随后的(1－α)T时段为数据传输(DT, Data transmission)阶段。在EH阶段，节点q，q∈{A, R_i, B}收集到的能量为

$ {E_{\rm{q}}} = \eta {P_{\rm{t}}}{\left| {{f_{{\rm{PB}},{\rm{q}}}}} \right|^2}\alpha T, $

(1)

其中，0 < η < 1为能量转换效率，P_t为PB的发射功率，忽略节点q收集的噪声能量。假设各SN节点安装的大容量蓄电装置(如大电容)能将EH阶段收集的能量全部存储，同时由于蓄电装置存在漏电，其存储的能量会在时隙结束时被完全消耗掉^[3]。

在衬底模式下，SN用户的发射功率必须始终满足PN对接收端干扰的要求。因此，节点q的发射功率为

$ {P_{\rm{q}}} = \min \left[ {\frac{{{E_{\rm{q}}}}}{{\left( {1 - \alpha } \right)T/3}},\frac{{{P_{\rm{I}}}}}{{\mathop {\max }\limits_{j = 1,2, \cdots ,M} {{\left| {{g_{{\rm{q,P}}{{\rm{R}}_j}}}} \right|}^2}}}} \right], $

(2)

其中，P_I为干扰约束，即PR能容忍的最大干扰功率。

在DT阶段的前(1－α)T/3时段，节点A向所有的R传输数据；随后的(1-α)T/3时段，节点B向所有的R传输数据。在以上2个时段中，第i个中继R_i的瞬时接收端信噪比(SNR, Signal-noise ratio)可以分别表示为

$ \gamma_{\mathrm{A}, \mathrm{R}_{i}}=\min \left[\rho P_{\mathrm{t}} Z_{\mathrm{A}} / \sigma^{2}, P_{\mathrm{I}} /\left(Y_{\mathrm{A}} \sigma^{2}\right)\right] X_{\mathrm{A}, i}, $

(3)

$ \gamma_{\mathrm{B}, \mathrm{R}_{i}}=\min \left[\rho P_{\mathrm{t}} Z_{B} / \sigma^{2}, P_{\mathrm{I}} /\left(Y_{B} \sigma^{2}\right)\right] X_{B, i}, $

(4)

其中，σ²为接收端的加性复高斯白噪声方差, ρ=3αη/(1－α), X_{A, i}=|h_{A, Ri}|², X_{B, i}=|h_{B, Ri}|², Y_A=$\mathop {\max }\limits_{j = 1,2, \cdots ,M} {\mkern 1mu} {\left| {{g_{{\rm{A}},{\rm{P}}R_j}}} \right|^2}$, ${Y_{\rm{B}}} = \mathop {\max }\limits_{j = 1,2, \cdots ,M} {\mkern 1mu} {\left| {{g_{{\rm{B}},{\rm{P}}{R_j}}}} \right|^2}$, Z_A=|f_{PB, A}|²和Z_B=|f_{PB, B}|²。在第二个(1-α)T/3时段最后，所有R将对接收自A和B的数据进行译码，将n_A个能成功译码A发送数据的中继组成的集合用符号$ \mathbb{R} $_A表示，将n_B个能成功译码B发送数据的中继组成的集合用$ \mathbb{R} $_B表示，将n_AB个能同时成功译码A和B发送数据的中继组成的集合用符号$ \mathbb{R} $表示，显然$ \mathbb{R} $=$ \mathbb{R} $_A∩$ \mathbb{R} $_B。假设第i个中继R_i位于集合$ \mathbb{R} $中。在第三个(1－α)T/3时段，R_i将译码后的A、B数据经网络编码(NC, Network coding)后同时转发给A和B，则A和B的瞬时接收端SNR分别为

$ \gamma_{R_{i}, \mathrm{A}}=\min \left[\rho P_{\mathrm{t}} Z_{R_{i}} / \sigma^{2}, P_{\mathrm{I}} /\left(Y_{R_{i}} \sigma^{2}\right)\right] X_{i, \mathrm{A}}, $

(5)

$ \gamma_{R_{i}, \mathrm{B}}=\min \left[\rho P_{\mathrm{t}} Z_{R_{i}} / \sigma^{2}, P_{\mathrm{I}} /\left(Y_{R_{i}} \sigma^{2}\right)\right] X_{i, \mathrm{B}}, $

(6)

其中，X_{i, A}=|h_{Ri, A}|²，X_{i, B}=|h_{Ri, B}|²，$ {Y_{{R_i}}} = \mathop {\max }\limits_{j = 1,2, \cdots ,M} {\left| {{g_{{R_i},{\rm{P}}{R_j}}}} \right|^2} $和Z_Ri=|f_{PB, Ri}|²。

为了提高传输质量和降低系统复杂度，采用ORS策略从集合$ \mathbb{R} $中选出信道质量最好的中继R_i^*在第三个(1－α)T/3时段为A和B进行转发。对R_i^*的选择标准如下

$ {i^*} = \arg \mathop {\max }\limits_{i = 1,2, \cdots ,{n_{{\rm{AB}}}}} {\mkern 1mu} {\gamma _{{R_i}}}, $

(7)

其中，n_AB是集合$ \mathbb{R} $的基数(即n_AB=|$ \mathbb{R} $|)，γ_Ri=min(γ_{Ri, A}, γ_{Ri, B})。因为γ_Ri相互独立，γ_Ri^*可以表示为

$ {\gamma _{{R_i}*}} = \mathop {\max }\limits_{i = 1,2, \cdots ,{n_{{\rm{AB}}}}} {\gamma _{{R_i}}} 。$

(8)

2 中断概率分析 2.1 精确分析

研究将推导出SN中断概率的精确闭式解，以便于对SN中断性能进行分析。注意到n_A是一个离散随机变量。因此，事件|$ \mathbb{R} $_A|=n_A，n_A∈{0, 1, …, N}的概率可以表示为

$ \Pr \left\{ {\left| {{\mathbb{R}_{\text{A}}}} \right| = {n_{\text{A}}}} \right\} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} N \\ {{n_{\text{A}}}} \end{array}} \right)\Pr \left\{ {\bigcap\limits_{i \in {\mathbb{R}_{\text{A}}}} {\left( {{\gamma _{{\text{A}},{R_i}}} \geqslant {\gamma _{{\text{th}}}}} \right)} ,\bigcap\limits_{i \notin {\mathbb{R}_{\text{A}}}} {\left( {{\gamma _{{\text{A}},{R_i}}} < {\gamma _{{\text{th}}}}} \right)} } \right\}, $

(9)

因为A到PR(R)的链路信道增益为IID，所以式(9)可以写为

$ \Pr \left\{ {\left| {{\mathbb{R}_{\text{A}}}} \right| = {n_{\text{A}}}} \right\} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} N \\ {{n_{\text{A}}}} \end{array}} \right){\left[ {\Pr \left\{ {{\gamma _{{\text{A}},R_i}} \geqslant {\gamma _{{\text{th}}}}} \right\}} \right]^{n_{\text{A}}}}{\left[ {\Pr \left\{ {{\gamma _{{\text{A}},R_i}} < {\gamma _{{\text{th}}}}} \right\}} \right]^{N - n_{\text{A}}}}, $

(10)

其中，γ_th是中断SNR阈值，并且假设只要SN节点的接收端瞬时SNR不小于γ_th，该节点就能译码成功。

同理可得，事件|$ \mathbb{R} $_B|=n_B，n_B∈{0, 1, …, N}的概率为

$ \Pr \left\{ {\left| {{\mathbb{R}_{\text{A}}}} \right| = {n_{\text{A}}}} \right\} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} N \\ {{n_{\text{B}}}} \end{array}} \right){\left[ {\Pr \left\{ {{\gamma _{{\text{B}},R_i}} \geqslant {\gamma _{{\text{th}}}}} \right\}} \right]^{n_{\text{B}}}}{\left[ {\Pr \left\{ {{\gamma _{{\text{B}},R_i}} < {\gamma _{{\text{th}}}}} \right\}} \right]^{N - n_{\text{B}}}}。$

(11)

由于$ \mathbb{R} $=$ \mathbb{R} $_A∩$ \mathbb{R} $_B，所以n_AB≤n_A且n_AB≤n_B，为了简单且不失一般性，假设

$ {\mathbb{R}_{\text{A}}} = \left\{ {{R_1},{R_2}, \cdots ,{R_{n_{\text{AB}}}},{R_{n_{\text{AB}} + {\text{1}}}}, \cdots ,{R_{n_{\text{AB}} + t_{\text{A}}}}} \right\}, $

(12)

$ {\mathbb{R}_{\text{B}}} = \left\{ {{R_1},{R_2}, \cdots ,{R_{n_{\text{AB}}}},{R_{n_{\text{AB}} + t_{\text{A }}+ 1}}, \cdots ,{R_{n_{\text{AB}} + t_{\text{A}} + t_{\text{B}}}}} \right\}, $

(13)

其中，0≤t_A≤N-n_AB，0≤t_B≤N－n_AB－t_A，t_A是集合$ \mathbb{R} $_A中仅能译码出A发送信号的中继数量，而t_B则是集合$ \mathbb{R} $_B中仅能译码出B发送信号的中继数量。

依据全概率公式，SN中断概率P_out可以表示为

$ \begin{gathered} {P_{{\text{out}}}}\left( {{\gamma _{{\text{th}}}}} \right) = \sum\limits_{n_{\text{AB}} = 0}^N {\Pr \left\{ {\left| \mathbb{R} \right| = {n_{{\text{AB}}}}} \right\}\Pr \left\{ {{\gamma _{R_i * }} < {\gamma _{{\text{th}}}}} \right\}} = \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{n_{\text{AB}} = 0}^N {\sum\limits_{t_{\text{A}} = {\text{0}}}^{N - n_{\text{AB}}} {\sum\limits_{t_{\text{B}} = {\text{0}}}^{N - n_{\text{AB}} - t_{\text{A}}} {\left( \begin{gathered} N \hfill \\ {n_{{\text{AB}}}} \hfill \\ \end{gathered} \right)\left( \begin{gathered} N - {n_{{\text{AB}}}} \hfill \\ {t_{\text{A}}} \hfill \\ \end{gathered} \right)\left( \begin{gathered} N - {n_{{\text{AB}}}} - {t_{\text{A}}} \hfill \\ {t_{\text{B}}} \hfill \\ \end{gathered} \right)} } } \times \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {1 - {\vartheta _{{\text{A}},i}}\left( {{\gamma _{{\text{th}}}}} \right)} \right]^{n_{\text{AB}} + t_{\text{A}}}}{\left[ {{\vartheta _{A,i}}\left( {{\gamma _{{\text{th}}}}} \right)} \right]^{N - n_{\text{AB}} - t_{\text{A}}}} \times \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {1 - {\vartheta _{{\text{B}},i}}\left( {{\gamma _{{\text{th}}}}} \right)} \right]^{n_{\text{AB}} + t_{\text{B}}}}{\left[ {{\vartheta _{B,i}}\left( {{\gamma _{{\text{th}}}}} \right)} \right]^{N - n_{\text{AB}} - t_{\text{B}}}} \times \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\left[ {{\vartheta _{{\text{R}}i}}\left( {{\gamma _{{\text{th}}}}} \right)} \right]^{{n_{{\text{AB}}}}}}, \hfill \\ \end{gathered} $

(14)

其中，ϑ_{A, i}(γ_th)=Pr{γ_{A, Ri} < γ_th}，ϑ_{B, i}(γ_th)=Pr{γ_{B, Ri} < γ_th}和ϑ_Ri(γ_th)=Pr{γ_Ri < γ_th}可以分别表示为

$ \vartheta_{\mathrm{A}, i}\left(\gamma_{\mathrm{th}}\right)=\operatorname{Pr}\left\{U_{\mathrm{A}} X_{\mathrm{A}, i}<\gamma_{\mathrm{th}}\right\}, $

(15)

$ \vartheta_{\mathrm{B}, i}\left(\gamma_{\mathrm{th}}\right)=\operatorname{Pr}\left\{U_{\mathrm{B}} X_{\mathrm{B}, i}<\gamma_{\mathrm{th}}\right\}, $

(16)

$ \vartheta_{R_{i}}\left(\gamma_{\mathrm{th}}\right)=1-\operatorname{Pr}\left\{U_{R_{i}} X_{i, \mathrm{A}}>\gamma_{\mathrm{th}}, U_{R_{i}} X_{i, \mathrm{B}}>\gamma_{\mathrm{th}}\right\}, $

(17)

其中，U_q=min[ρP_tZ_q/σ², P_I/(Y_qσ²)]，q∈{A, R_i, B}。

注意到Y_q是M个服从均值为1/ω_q的指数分布独立随机变量的最大值，Y_q的累积分布函数(CDF, cumulative distribution function)为

$ {F_{{Y_{\rm{q}}}}}\left( {{y_{\rm{q}}}} \right) = {\left( {1 - {e^{ - {\omega _{\rm{q}}}{y_{\rm{q}}}}}} \right)^M} = \sum\limits_{k = 0}^M {\left( \begin{array}{l} M\\ k \end{array} \right){{\left( { - 1} \right)}^k}{e^{ - k{\omega _q}{y_{\rm{q}}}}}} 。$

(18)

为了便于计算式(15)~式(17)，先推导出U_q的CDF

$ \begin{array}{l} {F_{{U_{\rm{q}}}}}\left( {{u_{\rm{q}}}} \right) = 1 - \Pr \left\{ {{U_{\rm{q}}} > {u_{\rm{q}}}} \right\} = 1 - \Pr \left\{ {{Z_{\rm{q}}} > {u_{\rm{q}}}{\sigma ^2}/\left( {\rho {P_{\rm{t}}}} \right)} \right\}\Pr \left\{ {{Y_{\rm{q}}} < {P_{\rm{I}}}/\left( {{u_{\rm{q}}}{\sigma ^2}} \right)} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1 - \sum\limits_{k = 0}^M {\left( \begin{array}{l} M\\ k \end{array} \right){{\left( { - 1} \right)}^k}{e^{ - {\beta _{\rm{q}}}{u_{\rm{q}}}{\sigma ^2}/\left( {\rho {P_{\rm{t}}}} \right) - k{\omega _{\rm{q}}}{P_{\rm{I}}}/\left( {{u_{\rm{q}}}{\sigma ^2}} \right)}}} 。\end{array} $

(19)

因此，式(15)~式(17)可以通过如下推导得出

$ \begin{array}{l} {\vartheta _{{\rm{A}},i}}\left( {{\gamma _{{\rm{th}}}}} \right) = \int_0^\infty {{F_{{U_{\rm{A}}}}}\left( {{\gamma _{{\rm{th}}}}/{x_{{\rm{A}},i}}} \right){\lambda _{{\rm{A}},{\rm{R}}}}{e^{ - {\lambda _{{\rm{A}},{\rm{R}}x{\rm{A}},i}}}}{\rm{d}}{x_{{\rm{A}},i}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1 - \sum\limits_{k = 0}^M {\left( \begin{array}{l} M\\ k \end{array} \right){{\left( { - 1} \right)}^k}{\lambda _{{\rm{A}},{\rm{R}}}}} \int_0^\infty {{e^{ - {\beta _{\rm{A}}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}/\left( {\rho {P_{\rm{t}}}{x_{{\rm{A}},i}}} \right) - \left[ {{\lambda _{{\rm{A}},{\rm{R}}}} + k{\omega _{\rm{A}}}{P_{\rm{I}}}/\left( {{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}} \right)} \right]{x_{{\rm{A}},i}}}}{\rm{d}}{x_{{\rm{A}},i}}} , \end{array} $

(20)

根据公式(20)，可以得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\vartheta _{{\rm{A}},i}}\left( {{\gamma _{{\rm{th}}}}} \right) = 1 - \sum\limits_{k = 0}^M {\left( \begin{array}{l} M\\ k \end{array} \right){{\left( { - 1} \right)}^k}} \sqrt {\frac{{4{\beta _{\rm{A}}}\lambda _{{\rm{A}},{\rm{R}}}^2\gamma _{{\rm{th}}}^2{\sigma ^4}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}\left( {{\lambda _{{\rm{A}},{\rm{R}}}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2} + k{\omega _{\rm{A}}}{P_{\rm{I}}}} \right)}}} \times }\\ {{K_1}\left( {\sqrt {\frac{{4{\beta _{\rm{A}}}\left( {{\lambda _{{\rm{A}},{\rm{R}}}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2} + k{\omega _{\rm{A}}}{P_{\rm{I}}}} \right)}}{{\rho {P_{\rm{t}}}}}} } \right),} \end{array} $

(21)

其中，K₁(·)为一阶第二类修正Bessel函数。

同理可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\vartheta _{{\rm{B}},i}}\left( {{\gamma _{{\rm{th}}}}} \right) = 1 - \sum\limits_{k = 0}^M {\left( \begin{array}{l} M\\ k \end{array} \right){{\left( { - 1} \right)}^k}\sqrt {\frac{{4{\beta _{\rm{B}}}\lambda _{{\rm{B}},R}^2\gamma _{{\rm{th}}}^2{\sigma ^4}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}\left( {{\lambda _{{\rm{B}},R}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2} + k{\omega _{\rm{B}}}{P_{\rm{I}}}} \right)}}} } \times }\\ {{K_1}\left( {\sqrt {\frac{{4{\beta _{\rm{B}}}\left( {{\lambda _{{\rm{B}},R}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2} + k{\omega _{\rm{B}}}{P_{\rm{I}}}} \right)}}{{\rho {P_{\rm{t}}}}}} } \right) 。} \end{array} $

(22)

注意到γ_{Ri, A}和γ_{Ri, B}具有公共随机变量U_Ri，使用条件概率公式，ϑ_Ri(γ_th)可以表示为

$ \begin{array}{l} {\vartheta _{{R_i}}}\left( {{\gamma _{{\rm{th}}}}} \right) = 1 - \int_0^\infty {\Pr \left\{ {{U_{{R_i}}}{X_{i,{\rm{A}}}} > {\gamma _{{\rm{th}}}}\left| {{U_{{R_i}}}} \right.} \right\}\Pr \left\{ {{U_{{R_i}}}{X_{i,{\rm{B}}}} > {\gamma _{{\rm{th}}}}\left| {{U_{{R_i}}}} \right.} \right\}} {\rm{d}}{F_{{U_{{R_i}}}}}\left( {{u_{{R_i}}}} \right) = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1 - \int_0^\infty {{e^{ - \frac{{{\gamma _{{\rm{th}}}}\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right)}}{{u{R_i}}}}}{\rm{d}}{F_{{U_{{R_i}}}}}\left( {{u_{{R_i}}}} \right)} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int_0^\infty {\frac{{{\gamma _{{\rm{th}}}}\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right)}}{{u_{{R_i}}^2}}{e^{ - \frac{{{\gamma _{{\rm{th}}}}\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right)}}{{u{R_i}}}}}{F_{{U_{{R_i}}}}}\left( {{u_{{R_i}}}} \right){\rm{d}}{u_{{R_i}}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1 - \sum\limits_{k = 0}^M {\left( \begin{array}{l} M\\ k \end{array} \right){{\left( { - 1} \right)}^k}} \int_0^\infty {\frac{{{\gamma _{{\rm{th}}}}\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right)}}{{u_{{R_i}}^2}}{e^{ - \frac{{{\gamma _{{\rm{th}}}}\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right){\sigma ^2} + {k_\omega }R{P_{\rm{I}}}}}{{u{R_i}{\sigma ^2}}} - \frac{{\beta Ru{R_i}{\sigma ^2}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}}}}}{\rm{d}}{u_{{R_i}}}} , \end{array} $

(23)

可以得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\vartheta _{{R_i}}}\left( {{\gamma _{{\rm{th}}}}} \right) = 1 - \sum\limits_{k = 0}^M {\left( \begin{array}{l} M\\ k \end{array} \right){{\left( { - 1} \right)}^k}\sqrt {\frac{{4{\beta _R}\gamma _{{\rm{th}}}^2{{\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right)}^2}{\sigma ^4}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}\left[ {{\gamma _{{\rm{th}}}}\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right){\sigma ^2} + k{\omega _R}{P_{\rm{I}}}} \right]}}} } \times }\\ {{K_1}\left( {\sqrt {\frac{{4\left[ {{\gamma _{{\rm{th}}}}\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right){\sigma ^2} + k{\omega _R}{P_{\rm{I}}}} \right]{\beta _R}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}}}} } \right)。} \end{array} $

(24)

将式(21)，式(22)和式(24)带入式(14)，就可得到SN精确中断概率P_out(γ_th)。

下面将分别推导SN在无干扰约束(P_t≪P_I)和有干扰约束(P_t≫P_I)条件下的渐近中断概率闭式解。在以上2种条件下，P_q，q∈{A, R_i, B}可以表示为

$ {P_{\rm{q}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho {P_{\rm{t}}}{Z_{\rm{q}}},}&{{P_{\rm{t}}} \ll {P_{\rm{I}}},}\\ {{P_{\rm{I}}}/{Y_{\rm{q}}},}&{{P_{\rm{t}}} \gg {P_{\rm{I}}}。} \end{array}} \right. $

(25)

2.2 无干扰约束的渐近分析

当P_t≪P_I时，式(3)~式(6)可以分别表示为γ_{A, Ri}^∞=ρP_tZ_AX_{A, i}/σ²、γ_{B, Ri}^∞=ρP_tZ_BX_{B, i}/σ²、γ_{Ri, A}^∞=ρP_tZ_RiX_{i, A}/σ²和γ_{Ri, B}^∞=ρP_tZ_RiX_{i, B}/σ²，则式(15)~式(17)可以分别计算为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\vartheta _{{\rm{A}},i}^\infty \left( {{\gamma _{{\rm{th}}}}} \right) = \Pr \left\{ {\rho {P_{\rm{t}}}{Z_{\rm{A}}}{X_{{\rm{A}},i}} < {\gamma _{{\rm{th}}}}} \right\} = 1 - {\gamma _{{\rm{A}},R}}\int_0^\infty {{e^{ - \frac{{\beta {\rm{A}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}x{\rm{A}},i}} - {\lambda _{{\rm{A}},R}}{x_{{\rm{A}},i}}}}{\rm{d}}{x_{{\rm{A}},i}}} = }\\ {1 - \sqrt {\frac{{4{\beta _{\rm{A}}}{\lambda _{{\rm{A}},R}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}}}} {K_1}\left( {\sqrt {\frac{{4{\beta _{\rm{A}}}{\lambda _{{\rm{A}},R}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}}}} } \right),} \end{array} $

(26)

同理可得

$ \vartheta _{{\rm{B}},i}^\infty \left( {{\gamma _{{\rm{th}}}}} \right) = 1 - \sqrt {\frac{{4{\beta _{\rm{B}}}{\lambda _{{\rm{B}},R}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}}}} {K_1}\left( {\sqrt {\frac{{4{\beta _{\rm{B}}}{\lambda _{{\rm{B}},R}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}}}} } \right)。$

(27)

注意到γ_{Ri, A}^∞和γ_{Ri, B}^∞具有公共随机变量Z_Ri，使用条件概率公式，ϑ_Ri^∞(γ_th)可以表示为

$ \begin{array}{l} \vartheta _{{R_i}}^\infty {\gamma _{{\rm{th}}}} = 1 - \int_0^\infty {\Pr \left\{ {{X_{i,{\rm{A}}}} > \frac{{{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}{Z_{{\rm{P}}_i}}}}\left| {{Z_{{\rm{P}}_i}}} \right.} \right\}\Pr \left\{ {{X_{i,{\rm{B}}}} > \frac{{{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}{Z_{R_i}}}}\left| {{Z_{{\rm{R}}_i}}} \right.} \right\}{\rm{d}}{F_{{Z_{{R_i}}}}}\left( {{z_{{R_i}}}} \right)} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1 - {\beta _{\rm{R}}}\int_0^\infty {{e^{ - \frac{{\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right){\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}z{R_i}}} - {\beta _{R_zR_i}}}}{\rm{d}}{z_{{R_i}}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1 - \sqrt {\frac{{4\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right){\beta _R}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}}}} {K_1}\left( {\sqrt {\frac{{4\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right){\beta _R}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{\rho {P_{\rm{t}}}}}} } \right)。\end{array} $

(28)

将式(26)~式(28)带入式(14)中，可得到在无干扰约束条件下的SN渐近中断概率P_out^∞(γ_th)。

2.3 有干扰约束的渐近分析

当P_t≫P_I时，式(3)~(6)可以分别表示为γ_{A, Ri}⁰=P_IX_{A, i}/(Y_Aσ²)、γ_{B, Ri}⁰=P_IX_{B, i}/(Y_Bσ²)、γ_{Ri, A}⁰=P_IX_{i, A}/(Y_Riσ²)和γ_{Ri, B}⁰=P_IX_{i, B}/(Y_Riσ²)，则式(15)~(17)可以分别计算为

$ \begin{array}{l} \vartheta _{{\rm{A}},i}^0{\gamma _{{\rm{th}}}} = \Pr \left\{ {{Y_{\rm{A}}} > {P_{\rm{I}}}{X_{{\rm{A}},i}}/\left( {{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}} \right)} \right\} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1 - {\lambda _{A,{\rm{R}}}}\int_0^\infty {{{\left[ {1 - {e^{ - {\omega _{\rm{A}}}{P_{\rm{I}}}{x_{{\rm{A}},i}}/\left( {{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}} \right)}}} \right]}^M}{e^{ - {\lambda _{{\rm{A}},R}}{x_{{\rm{A}},i}}}}{\rm{d}}{x_{{\rm{A}},i}}} , \end{array} $

(29)

ϑ_{A, i}⁰γ_th可以表示为

$ \vartheta _{{\rm{A}},i}^0{\gamma _{{\rm{th}}}} = 1 - \frac{{{\lambda _{{\rm{A}},R}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{{\omega _{\rm{A}}}{P_{\rm{I}}}}}B\left( {\frac{{{\lambda _{{\rm{A}},R}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{{\omega _{\rm{A}}}{P_{\rm{I}}}}},M + 1} \right), $

(30)

其中，B(·, ·)为Beta函数。

同理可得

$ \vartheta _{{\rm{B}},i}^0{\gamma _{{\rm{th}}}} = 1 - \frac{{{\lambda _{{\rm{B}},R}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{{\omega _{\rm{B}}}{P_{\rm{I}}}}}B\left( {\frac{{{\lambda _{{\rm{B}},R}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{{\omega _{\rm{B}}}{P_{\rm{I}}}}},M + 1} \right)。$

(31)

注意到γ_{Ri, A}⁰和γ_{Ri, B}⁰具有公共随机变量Y_Ri，使用条件概率公式，ϑ_Ri⁰γ_th可以表示为

$ \begin{array}{l} \vartheta _{{R_i}}^0{\gamma _{{\rm{th}}}} = 1 - \int_0^\infty {\Pr \left\{ {{X_{i,{\rm{A}}}} > \frac{{{Y_{{R_i}}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{{P_{\rm{I}}}}}\left| {{Y_{{R_i}}}} \right.} \right\}\Pr \left\{ {{X_{i,{\rm{B}}}} > \frac{{{Y_{{R_i}}}{\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{{P_{\rm{I}}}}}\left| {{Y_{{R_i}}}} \right.} \right\}{\rm{d}}{F_{{Y_{{R_i}}}}}\left( {{y_{{R_i}}}} \right)} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1 - \frac{{\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right){\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{{P_{\rm{I}}}}}\int_0^\infty {{e^{ - \frac{{\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right){\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}{y_{R_i}}}}{{{P_{\rm{I}}}}}}}{{\left( {1 - {e^{ - \omega {R_y}{R_i}}}} \right)}^M}{\rm{d}}{y_{R_i}}} = \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1 - \frac{{\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right){\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{{P_{\rm{I}}}{\omega _R}}}B\left( {\frac{{\left( {{\lambda _{R,{\rm{A}}}} + {\lambda _{R,{\rm{B}}}}} \right){\gamma _{{\rm{th}}}}{\sigma ^2}}}{{{P_{\rm{I}}}{\omega _R}}},M + 1} \right)。\end{array} $

(32)

将式(30)~式(32)带入式(14)，可得到有干扰约束条件下的SN渐近中断概率P_out⁰(γ_th)。

3 仿真结果及分析

为了使仿真更贴近于实际情况，针对构建的网络模型中采用Rayleigh块衰落信道的特点，将通过10⁵次Monte Carlo仿真来验证理论分析的结果。2个源节点A和B，N个R以及M个PR的中心点分别位于X-Y平面(-0.5, 0)、(0.5, 0)、(0, 0)和(0, -1)等4点。图(3)~图(6)中PB位于X-Y平面(0, 1)。图(3)、图(6)和图(7)中N=3，M=3。图(3)~图(5)和图(7)中SN端到端(e2e, End-to-end)信道容量R_e2e=0.5bit/s/Hz，中断阈值γ_th=2^{1.5R_e2e/(1－α)}－1。路径损耗指数m=2.5。噪声方差σ²=1，P_t和P_I均被σ²归一化。从图(3)~图(7)可以看出Monte Carlo仿真曲线与理论分析曲线完全重合，从而证明了理论推导的正确性。

图 3展示了η和P_I取不同值时，P_out关于P_t的函数。从图 3可得以下结论：1)当η和P_I取不同值时，所对应的中断概率曲线均随P_t的增大而单调递减并最终收敛于下限P_out⁰。2)当P_I和P_t给定时，η越小中断概率越高。3)当η和P_t一定时，P_I越大则中断概率越低。这是因为随着P_t或η值变大，SN节点能够收集到更多能量，从而使发射功率增大。当P_t变为较大值(如35 dB)时，SN节点发射功率受P_I限制而不再提高，因此中断概率不再减小，并趋于饱和；且P_I越大，PR能容忍的干扰功率也越大，中断概率就越小。4)当η、P_t和P_I均给定时，P_out≥P_out^∞。

图 4说明了PR数量对SN中断概率的影响。假设：η=0.8，α=0.5，P_t=15 dB。从图 4可以看出：1)当P_I < 16 dB时，增加PR数量将提高SN中断概率。这是因为随着PR数量增加，SN节点到PR节点的干扰链路具有较大信道增益的概率也会增大。根据式(2)，较大的干扰链路信道增益将导致SN节点发射功率减小，从而增大SN中断概率。2)当P_I大于某特定值(如16 dB)时，PR数量将不会对SN中断概率产生影响。

图 5表明了R数量N=1, 2, 3, 4时，α与P_out之间的关系。假设：M=3，η=0.8，P_t=15 dB和P_I=20 dB。图 5结果表明：1)P_out与α之间不存在单调变化关系，随着α从0增加到1，不同N值对应的P_out均先逐步减小然后再逐渐增大，且α=0.5时P_out取得最小值，因此合理设置α值将有助于减小SN中断概率。2)当α值给定时，增加R数量将降低SN中断概率。这是因为N值的增加会产生更多的分集增益，从而提升SN中断性能。

图 6表示了R_e2e取不同值时，P_out与P_I之间的关系。假设：η=0.8，α=0.5，P_t=15 dB。从图 6可发现：1)当P_I值给定时，P_out随着R_e2e值增大而增加。这是因为，γ_th随R_e2e的增加而增大，根据式(14)可知，γ_th越大则P_out越小。2)当R_e2e值给定时，P_out随着P_I的增加而单调减小。当P_I增加到一定程度(如20 dB)时，P_out不再继续减小并将趋于饱和。这是因为，随着P_I增加，PN对SN的干扰约束限制会逐步放松，SN节点的发射功率将随之增大，并最终完全由其收集到的能量决定。

图 7则表示了PB设置位置对SN中断概率的影响。当P_t、P_I和η值给定时，随着PB设置位置逐步远离SN，由于信道衰减的原因，SN节点能够收集到的能量会逐渐越少，导致发射功率越来越低，SN中断概率也将随之增大。因此，将PB设置在尽量靠近SN的中部位置有助于提升SN中断性能^[20]。

4 结论

研究了包含多个SN双向中继节点和多个PR的PB辅助EH-CRNs，并推导出了在Rayleigh块衰落信道下采用ORS策略的SN中断概率精确和渐近闭式解。结果表明：SN中断概率随着PB发射功率或干扰约束的增大而单调下降并最终趋于饱和；SN中断概率随着PB的远离而升高，当减小能量转换效率或增加PR数量将增大SN中断概率；增加中继数量和设置恰当的EH比率将有助于提升SN中断性能。