2019, Vol. 42
表1(Table 1)
正弦余弦优化算法[1](SCA, sine cosine algorithm)是澳大利亚学者Mirjalili于2016年提出的一种基于种群的智能优化算法。与大多数智能优化算法相比，SCA具有架构简单，控制参数少，计算效率高等优点。Mirjalili[1]已经证明SCA在整体优化性能上优于萤火虫算法(FA, firefly algorithm)、花朵授粉算法(FPA, flower pollination algorithm)、粒子群算法(PSO, particle swarm optimization)以及遗传算法(GA, genetic algorithms)等。基于此，SCA已经被广泛应用于求解工程实际问题[2-4]。SCA主要依赖正弦函数和余弦函数的震荡特性进行寻优，由于种群更新对当前最优解的依赖过强，算法迭代后期种群多样性迅速降低，导致算法易于陷入局部最优。
由于SCA架构简单，因此具有较大的改进潜力。目前，国内外学者对SCA改进策略的研究主要分为2类。一类是与其他智能优化算法进行杂交融合以提高算法的优化性能：王蕾等[5]将SCA与花授粉算法(FPA)进行融合，利用SCA的正弦余弦震荡特性，提高融合算法的局部最优规避能力与寻优精度；Chegini等[6]将SCA与粒子群算法(PSO)进行融合，提高算法的全局搜索能力和局部最优规避能力；Nenavath等[7]将SCA与差分进化算法(DE, differential evolution)进行融合，提高算法的局部最优规避能力和收敛速度，并将融合后的算法应用于求解目标跟踪问题；Issa等[8]利用SCA较好的全局搜索特性以及PSO良好的局部搜索能力提出的基于粒子群算法的自适应正弦余弦优化算法，寻优收敛精度较好。另一类是借鉴其他优化算法的搜索策略，针对性地提高SCA的局部搜索能力或全局搜索能力：Rizk-Allah[9]将多正交搜索策略引入SCA，充分利用多正交搜索策略的局部搜索优势，提高算法的寻优精度与局部最优规避能力；Gupta等[10]借鉴粒子群算法中的交叉操作，将交叉策略应用到SCA种群更新模型中，提高算法的局部搜索能力；Long等[11]分别引入基于高斯分布的非线性权重因子和惯性权重，提高算法的收敛速度和避免局部最优能力；Gupta等[12]基于扰动率将反向学习策略应用于SCA，提高算法跳出局部最优的能力。
但是，将SCA与其他智能算法进行杂交融合不仅增加了SCA算法的复杂度，而且算法的局部搜索与全局搜索难以有效平衡；目前将其他策略引进SCA的研究成果，虽然在一定程度上提高了算法的局部搜索能力或全局搜索能力，但能整体上同时提高算法的收敛精度、计算效率以及规避局部最优能力的研究还相对较少。鉴于此，为提高算法的收敛精度和局部最优规避能力，对SCA做以下2个方面改进：1)受粒子群算法搜索机制启发，引入自学习策略，记录每个搜索个体搜索到的历史最优位置，减少种群更新对当前最优解的依赖，提高算法的局部搜索能力，并引入非线性权重因子平衡算法的局部搜索和全局搜索；2)当算法迭代后期搜索停滞时，采用Lévy飞行策略施加扰动量，使算法跳出局部最优。基于13个经典基准测试函数及航迹规划问题对提出的算法进行测试，验证算法的寻优性能。
1 相关知识正弦余弦优化算法利用正弦函数和余弦函数的震荡特性进行寻优，随着迭代次数的增加，最终收敛于最优解或最优解附近。已知非约束n维最小化优化问题
| $ \begin{array}{l} [{\rm{min}}]f\left( x \right) = {\rm{min}}f({x_1}, {x_2}, {x_3}, \cdots , {x_n}), \\ {\rm{s}}{\rm{.t}} \;\;\;\;\;\;{L_i} \le {x_i} \le {U_i}, i = 1, 2, 3 \cdots , n。\end{array} $ |
其中:xi为第i个待优化变量; Li为xi的下边界; Ui为xi的上边界。
SCA求解该优化问题的基本流程为：首先在n维搜索空间中随机产生N个搜索个体X1, X2, X3, …, XN，每个搜索个体为待优化问题的1个候选解，第i个个体的位置为Xi=(xi1, xi2, xi3, …, xin)，依据适应度函数计算每个个体的适应度值f(Xi)，并将最好适应度值对应的搜索个体记为当前最优个体X*，寻优过程中搜索个体位置更新模型为
| $ \begin{array}{l} X_{ij}^t + 1 = \left\{ \begin{array}{l} X_{ij}^t + {r_1}\cdot{\rm{sin}}({r_2})\cdot{\rm{|}}{r_3}\cdot{X_j^*} - X_{ij}^t{\rm{|}}, {r_4} < 0.5, \\ X_{ij}^t + {r_1}\cdot{\rm{cos}}({r_2})\cdot|{r_3}\cdot{X_j^*} - X_{ij}^t|, {r_4} \ge 0.5, \end{array} \right. \end{array} $ | (1) |
| $ {r_1} = a\cdot(1 - t/{t_{\rm max}}), $ | (2) |
式中：Xijt为第t代种群的第i个搜索个体的第j维位置；Xj*为当前最优个体的第j维位置；a为大于1的常数；t为当前迭代次数；tmax为最大迭代次数。r1为控制参数，用于平衡算法的全局搜索与局部搜索，当|r1·sin(r2)|≥1时，算法执行全局搜索，当|r1·sin(r2)|＜1时，算法执行局部搜索；r2∈(0, 2π)为服从均匀分布的随机数，用于控制位置更新的步长；r3∈(0, 2)为服从均匀分布的随机权重，用于控制当前最优解对搜索个体位置更新的影响程度；r4∈(0, 1)为服从均匀分布的随机数，用于选择个体位置更新策略。
2 改进的正弦余弦优化算法 2.1 自学习策略通过对SCA种群更新模型分析，算法在整个寻优迭代过程中，搜索个体的位置更新对于搜索个体本身位置的依赖程度始终不变，导致算法在寻优前期的全局搜索能力不强；算法种群在整个迭代过程中主要受当前最优解的指导，致使迭代后期种群多样性急剧下降，易于陷入局部最优，出现早熟收敛现象。鉴于此，受粒子群算法中惯性权重控制参数启发，引入非线性调整参数ω用于调节种群迭代过程中搜索个体对当前自身位置信息的依赖，以提高算法的全局搜索能力。迭代前期，搜索个体的位置更新应低程度地依赖自身位置信息，以便于搜索更大的空间，提高算法的全局搜索能力；迭代后期应高程度地依赖自身位置信息与当前最优解位置信息，以提高算法的收敛速度，得到全局最优解。非线性调整参数ω更新公式为
| $ \omega = {(t/{t_{{\rm{max}}}})^2}, $ | (3) |
此外，针对种群迭代过程中只依赖于当前种群最优解易于陷入局部最优的缺陷，对比粒子群算法中“自学习环节”和“社会学习环节”，SCA种群更新模型中只包含“社会学习环节”，研究在每次迭代过程中将每个个体搜索到的历史最优解保存下来，引入“自学习环节”提高种群多样性，避免陷入局部最优，改进算法的搜索性能。引入非线性权重因子和“自学习环节”后的搜索个体位置更新公式为
| $ X_i^{t + 1} = \left\{ \begin{array}{l} \omega \cdot X_i^t + {r_1}\cdot{\rm{sin}}\left( {{r_2}} \right)\cdot\left( {{\rm{|}}{X^*} - X_i^t{\rm{|}} + {\rm{|}}X_i^* - X_i^t{\rm{|}}} \right), {r_4} < 0.5, \\ \omega \cdot X_i^t + {r_1}\cdot{\rm{cos}}({r_2})\cdot(|{X^*} - X_i^t| + |X_i^* - X_i^t|), {r_4} \ge 0.5, \end{array} \right. $ | (4) |
式中Xi*为第i个搜索个体搜索到的历史最优位置。
2.2 停滞扰动策略Lévy过程是一个连续时间的随机过程，该理论最早是由法国科学家Paul Lévy提出。研究人员通过对Lévy过程的研究发现，自然界中很多动物的活动规律均与Lévy过程的特点吻合[13]，反过来，研究人员通过对多种动物基于Lévy过程的觅食活动特点研究，提出了Lévy飞行觅食理论。Lévy飞行的特点为长时间以较小步长随机游走，偶尔以较大步长进行方向突变跳跃，与智能优化算法中的全局搜索和局部搜索特征相似。因此，Lévy飞行被研究人员广泛应用在各种优化算法中，用于产生随机步长，在种群搜索个体更新过程中施加一个扰动量，丰富种群多样性，提高算法的搜索能力[14-15]。Lévy飞行的随机游走步长服从一个重尾的概率分布，称之为Lévy分布，其幂律分布的形式为
| $ L\left( s \right) \sim {\rm{|}}s{{\rm{|}}^{ - 1 - \beta }}, \beta \in \left( {0, 2} \right), $ | (5) |
式中：s为随机步长；β为指数参数，决定Lévy分布的形状，β值越大，生成的随机步长越小。该分布形式直接使用简单的Matlab程序语言难以实现。因此，采用Mantegna所提出的生成Lévy飞行随机搜索路径L(λ)的方法生成Lévy飞行随机步长[16]，其模型为
| $ s = u/|v{|^{\frac{1}{\beta }}}, $ | (6) |
| $ \left\{ \begin{array}{l} {\sigma _u} = {\left[ {\frac{{\Gamma \left( {1 + \beta } \right)\cdot {\rm sin}(\pi \cdot\beta /2)}}{{\Gamma \left( {\left( {1 + \beta } \right)/2} \right)\cdot\beta \cdot{2^{\left( {\beta - 1} \right)/2}}}}} \right]^{\frac{1}{\beta }}}, \\ {\sigma _v} = 1, \end{array} \right. $ | (7) |
式中:s为随机游走步长，u和v均为服从正态分布的参数，即u~N(0, σu2)，v~N(0, σv2), Γ(x)为gamma函数。
易于陷入局部最优，出现早熟收敛现象是大多数智能优化算法所面临的问题，SCA由于其架构特点更是如此。随着寻优过程中迭代次数的增加，当种群所有个体搜索到的历史最优个体的适应度值均值连续5次迭代不再变化，则认为搜索陷入停滞，此时采用Lévy飞行随机游走策略更新种群搜索个体的位置，提高种群多样性，使算法跳出局部最优。基于Lévy飞行的停滞扰动策略模型为
| $ X_i^{t + 1} = {X^*} + {\rm{randn}} \cdot {\rm{Levy}}({X_i}) + {\rm{randn}}\cdot|X_i^* - X_i^t|, $ | (8) |
| $ {\rm{Levy}}({X_i}) = \alpha \cdot s \cdot({X^*} - X_i^t), $ | (9) |
式中:randn为服从正态分布的随机量；α∈[-1, 1]为比例因子。
2.3 SCASL寻优步骤算法:自学习策略和Lévy飞行的正弦余弦算法
Step 1:设置算法的基本参数：种群数目N，最大迭代次数tmax，问题维度D，比例因子α，Lévy飞行指数参数β；
Step 2:随机初始化初始种群搜索个体在搜索空间的位置信息，并进行边界控制；
Step 3:计算每个个体的适应度值，更新当前搜索到的最优个体位置信息以及每个搜索个体搜索到的历史最优位置信息；
Step 4:判断搜索是否陷入停滞，如果停滞，执行Step 5；否则，执行Step 6；
Step 5:采用停滞扰动策略更新种群搜索个体的位置，执行Step 7；
Step 6:更新控制参数r1, r2, r4, w，采用式(4)更新种群搜索个体的位置；
Step 7:对新个体位置进行边界控制，对越界值进行随机初始化；
Step 8:计算每个个体的适应度值，更新当前搜索到的最优个体位置信息以及每个搜索个体搜索到的历史最优位置信息；
Step 9:判断是否满足算法结束条件，不满足，则执行Step 4；否则，输出得到的最优值，算法寻优结束。
2.4 SCASL收敛性证明采用文献[17]提出的随机搜索算法收敛准则分析SCASL的收敛性。设最小化优化问题为＜f, s＞，f为适应度函数，s为可行解空间。利用随机搜索算法W进行寻优，第t次迭代输出结果为Xtb，第t+1次迭代输出的结果为Xt+1b=W(Xtb, ξ)，其中ξ为算法搜索到的位置。
条件1：f(W(Xtb, ξ))≤f(Xtb)，若ξ∈s，则有f(W(Xtb, ξ))≤f(ξ)。
条件2：若∀D∈s，有v(D)＞0，则满足
定理1：假设f可测，X*为全局最优点集合，可测空间s为Rn的可测度子集，算法W满足条件1和条件2，则有
定理2：SCASL具有全局收敛性。
证明：1)依据SCASL基本原理，显然SCASL满足条件1；2)设Mt为SCASL在第t次迭代过程的候选解集，随着迭代次数的增加，有
文献[7]使用的23个经典测试函数在智能优化算法领域被广泛用来测试算法性能，具有权威性。为了检验所提出SCASL的性能，选取其中13个具有代表性的测试函数对SCASL进行性能测试，并将结果与基本版本SCA和5个性能较优的智能优化算法SSA[18], VCS[19], WOA[20], GSA[21]进行对比。选取的测试函数包括7个单峰测试函数和6个多峰测试函数，具体描述如表 1。所有仿真实验均基于Intel(R)Core(TM)i7-4770KCPU@3.50GHz8GB RAM计算机平台上的MATLAB2013a。
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表 1 测试所用13个经典测试函数 Table 1 Thirteen benchmark functions used in the experiment |
为了实验的公平性，在实验平台相同的基础上，所有算法最大迭代次数tmax均设为500，算法的种群规模N除VCS外均设置为30，由于VCS每次迭代对种群进行3次评价，为保证所有算法最大评价次数相同，VCS种群规模N设为10。算法其余参数设置与原文献保持一致，具体如下为：SCASL:α=0.05, a=2, β=0.5; SCA:r1=2-2t/tmax; SSA:c1=2·e(-4t/tmax)2; VCS:λ=N/2, σ=0.3;WOA:b=1;GSA:G0=100，α=20。
3.1.1 统计结果分析使用SCASL以及5个对比算法求解13个经典基准测试函数，表 2中列出了各算法独立运行30次所输出结果的统计量：平均值(Mean)和标准差(SD)。经典测试函数集中F1~F7为单峰测试函数，这类函数只有一个全局最优解，无局部最优解。因此，这类函数常用来测试启发式搜索算法的收敛速度。对表 2中求解单峰测试函数结果的统计均值分析知：SCASL在求解F1~F4时，均能稳定收敛到全局最优解；求解F5时虽未收敛到最优值，但收敛精度明显优于对比算法；求解F6时精度差于GSA，但优于另外4种对比算法；求解F7时，收敛精度与VCS相当，优于另外4种对比算法。值得说明的是F5为一个极复杂的病态测试函数，全局最优值位置在一条极其狭窄的峡谷上，谷中曲面上的最速下降方向与到达全局最优值的方向近似垂直，大部分智能优化算法很难找到全局最优解，而SLSCA在求解F5时明显优于其他对比算法。综上，说明SCASL在处理单峰函数问题上的寻优性能优于另外5种对比算法。
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表 2 经典测试函数实验结果 Table 2 Experimental results based on classical test functions |
经典测试函数集中F8~F13为多峰测试函数，这类函数有多个局部最优解，寻优算法在求解时易于陷入局部最优。因此多峰测试函数常用来表征启发式搜索算法的局部最优规避能力。对表 2中求解多峰函数结果的均值分析发现：SCASL在求解F8, F13时，优于所有对比算法；求解F12时，仅次于VCS，优于另外4种算法；SCASL和VCS在求解F9, F10和F11时性能相当，其中在F9，F11上均收敛到全局最优值，优于其他4种对比算法。因此，可以说明SCASL具有较强的局部最优规避能力。
图 1为6种算法独立运行30次求解6个具有代表性的经典基准测试函数所得值的箱式图。由图知，SCASL在求解F1, F2, F4, F5, F8, F11时，均无异常点出现。并且SCASL在求解6个测试函数时，收敛值的分布相比对比算法整体上更加集中，明显优于其他算法，说明本文提出的SCASL求解问题时的鲁棒性更强。
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图 1 不同算法在6个基准测试函数的收敛箱式图 Fig. 1 Convergence box diagrams of different algorithms on 6 benchmark functions |
通过对30次独立运行结果的平均值和标准差进行分析，比较算法的性能，并不能精确分析每次运行的结果。因此，虽然独立运行30次在一定程度上能避免偶然性，但仍有一定的概率出现偶然优势，致使算法在均值上具有较好的表现。为了比较每次运行的结果并判断整体结果的显著性差别，采用Wilcoxon统计检验对结果进行分析。将6种算法求解13个经典基准测试函数独立运行30次得到的结果作为样本，在置信度为0.05的条件下进行检验，判断对比算法所得结果与SCASL所得结果的显著性差别。
表 1中列出Wilcoxon统计检验结果(R)，最后一行为检验结果的统计数量(B/E/W)。符号‘+’表示该算法性能优于SCASL；符号‘=’表示该算法与SCASL性能相当，无明显差异；符号‘-’表示该算法性能明显劣于SCASL。检验结果表明：在13个测试函数中，SCASL表现出的性能在所有函数上明显优于SCA，在1个函数上差于SSA和GSA，在2个函数上差于WOA，在2个函数上差于VCS，在4个函数上与VCS无明显差别。综上，SCASL整体寻优性能优于5种对比算法。
3.1.3 收敛性能分析通过分析可以发现，SCASL的收敛精度整体上优于另外5种对比算法。为进一步验证SCASL在寻优过程中的收敛特性，图 2列出了算法在求解6个具有代表性的测试函数时的收敛曲线。对图 2分析可得：SLASCA在求解单峰测试函数F1, F2, F3, F5，多峰函数F8和F13时，收敛速度优于另外5种对比算法；在求解函数F5, F13时，SCASL迭代前期收敛速度较快，迭代后期收敛速度较慢，主要是由于F5的最优值很难得到，而F13为多峰测试函数，存在大量局部最优值，相对比较复杂，SCASL为了规避局部最优值，避免早熟收敛，致使迭代后期收敛速度相对较慢。综上，整体上SCASL收敛速度优于另外5种对比算法，具有相对较好的收敛速度与收敛精度。
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图 2 算法收敛曲线 Fig. 2 Algorithm convergence curves |
智能优化算法在对实时性有一定要求的工程问题上也有广泛的应用，例如使用智能优化算法对无人作战飞机进行实时航迹规划和任务分配等。因此，基于算法求解测试函数的CPU运行时间对算法复杂度进行分析具有必要性。
表 3列出了SCASL和SCA求解13个测试函数独立运行30次的CPU平均运行时间。通过表 1发现，所提出的SCASL虽然增加了策略，但是运行时间相比SCA却有所减少，说明算法的计算效率要高于SCA，即算法的复杂度小于SCA。算法计算效率提高的主要原因是增加策略改进算法的同时对算法架构与编程方式进行了优化。
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表 3 算法运行时间 Table 3 Algorithm running time |
为测试SCASL求解带约束条件的工程优化问题的性能，选择求解无人作战飞机航迹规划问题对算法性能做进一步分析。目前，智能优化算法在航迹规划问题领域的应用，一般将规划空间离散化，寻优得到一系列航迹点，进而得到一条从起点到终点满足约束条件的可行航迹。文献[22]中航迹规划模型的适应度函数为
| $ J = \lambda \cdot{J_{\rm{t}}} + \left( {1 - \lambda } \right)\cdot{J_{\rm{L}}}, $ | (10) |
式中：λ∈(0, 1)为威胁权重因子; Jt为威胁代价; JL为油耗代价。
假设威胁源均为敌方防空导弹阵地，当无人作战飞机进入其威胁半径时易于被击毁，所以认为威胁区为禁飞区。假设无人机飞行距离与油耗成正比，所以将JL等效为航迹长度。简化后的航迹规划模型适应度函数为
| $ J = \left\{ \begin{array}{l} {J_{\rm{L}}}, {\rm{未经过禁飞区}};\\ + \infty , {\rm{经过禁飞区}}, \end{array} \right. $ | (11) |
实验条件：算法种群规模设置为30，最大迭代次数设置为100，搜索维度设置为10，无人作战飞机起点坐标为(15 km, 10 km)，目标点坐标为(95 km, 95 km)，威胁源参数如表 4。SCASL及SCA独立运行5次得到的结果如表 5，5次结果中适应度值最小的航迹图和收敛曲线如图 3和图 4。
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表 4 威胁源参数 Table 4 Threat source parameters |
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表 5 独立运行5次结果 Table 5 Results of running 5 times independently |
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图 3 SCASL和SCA所得航迹图 Fig. 3 Flight paths obtained by SCASL and SCA |
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图 4 适应度值收敛曲线 Fig. 4 Fitness value convergence curves |
由表 5知，SCASL独立运行5次的适应度均值为130.0505，远小于SCA所得到的181.9464，并且SCASL所得结果均小于SCA。由图 3和图 4易知，SCASL得到了近似最优航迹，而SCA明显陷入了局部最优。以上结果证明SCASL求解带约束条件的工程优化问题时具有更强的局部最优规避能力和更高收敛精度。
4 结论针对SCA易于陷入局部最优和局部搜索能力差的缺陷，提出了一种自学习策略和Lévy飞行的正弦余弦优化算法，既增强了算法的局部搜索能力提高了收敛速度，又增强了算法规避局部最优的能力。基于13个经典基准测试函数的结果表明，SCASL的局部最优规避能力和收敛精度整体上优于SCA, SSA, VCS, WOA和GSA；航迹规划的仿真结果证明SCASL求解带约束条件的优化问题时同样具有更强的局部最优规避能力。因此，所提出的改进策略具有有效性，SCASL具有较强的寻优能力。
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