Pushover分析方法被广泛用于评估结构的抗震性能。随着研究的深入，随机化Pushover方法也得到了不断的发展。欧进萍等^[1]利用结构评估体系的概率Pushover分析方法来处理抗力曲线和目标谱曲线随机化关系；李浩等^[2]在Pushover分析中将能力曲线随机化而使用凸集模型考虑地震作用的随机性；宋鹏彦^[3]基于随机化Pushover方法分析了结构的整体变形能力概率特性，并以此求解得到了结构整体抗震可靠指标；贡金鑫等^[4]通过编制随机化Pushover方法程序对框架结构的抗震可靠度进行了分析。

随机化Pushover方法在随机化方式以及分析程序方面都进行了深入研究，但是涉及到其中分析参数敏感性的研究则不多。张望喜等^[5]采用了有限差分法和Tornado图形法分析了框架结构实际需求谱Pushover方法顶点位移的敏感性。其中分析需求谱的敏感性时采用实际地震记录获得需求谱，而文献[3-4]中需求谱是以水平地震系数最大值等参数随机化的方式来实现的。

敏感性分析中的全局分析法不受模型限制，对非线性、非叠加、非单调问题能够进行分析，各因素变化范围可以不同并且同时变化，能够较为全面地反映模型对各因素的敏感性。Sobol法是一种基于方差的全局性敏感性分析方法，自1993年Sobol^[6]提出以来被广泛研究。Saltelli^[7-8]随后提出改进计算方法，对比几种敏感性指标计算公式，使得计算次数大幅减少，改善了计算精度；Dimov^[9]提出了自适应蒙特卡洛算法提高了总体敏感性指标的计算效率。

文中采用Sobol法从全局性的角度来评估基于文献[3-4]的随机化Pushover方法中各参数的敏感性。基于Sobol法，联合了Matlab和SAP2000编制随机化Pushover方法的程序，以一榀框架为计算模型分析了随机化Pushover方法中水平地震影响系数最大值、混凝土抗压强度和弹性模量、钢筋屈服强度和抗拉强度以及钢筋弹性模量对顶点位移的敏感性，并且通过2个算例验证结论的适用性。

1 敏感性分析方法和程序 1.1 分析方法

参考文献[7]中改进的Sobol法，其主要思想是优化计算过程使得关键结果一阶敏感性指标和总体敏感性指标的计算次数大幅缩减为n(k+2)次，其中，n为抽样次数，k为考虑的参数数量。假定输出模型y=f(x₁, x₂, …, x_k)，则模型的总方差为

$ V(y) = \sum\limits_i {{V_i}} + \sum\limits_i {\sum\limits_{j \ge i} {{V_{ij}}} } + \cdots + {V_{12 \cdots k}}, $

(1)

式中：V(y)是输出的总方差；V_i是参数x_i时输出y的方差，即为V(E(Y|x_i))；V_ij是参数x_i和x_j相互作用下时输出的方差。模型中参数的敏感性指标可表示为

$ S_{i}=\frac{V\left(E\left(y | x_{i}\right)\right)}{V(y)}=\frac{U_{i}-E^{2}(y)}{V(y)}, $

(2)

$ S_{T i}=\frac{V(y)-V\left(E\left(y | x_{-i}\right)\right)}{V(y)}=1-\frac{U_{-i}-E^{2}(y)}{V(y)}, $

(3)

式中：S_i是参数x_i的一阶敏感性指标，表示x_i对输出的影响程度；S_Ti是参数x_i的总体敏感性指标，等于涉及参数x_i的各阶敏感性指标之和。例如，有3个因素的模型中因素1的总体敏感性指标S_T1=S₁+S₁₂+S₁₂₃，其中二阶敏感性指标S₁₂表示因素1和因素2的交叉影响。在实际研究中，一般通过S_i和S_Ti就可以评估参数对于模型输出的敏感性程度。

1.2 分析程序

文中敏感性分析是通过Matlab和SAP2000联合编制随机化Pushover方法程序，再结合Sobol法加以计算。图 1表示基于Sobol法的敏感性指标计算总过程。使用蒙特卡洛抽样，依据考虑各参数的分布信息抽取2个n×k阶样本矩阵M₁和M₂，然后以M₁矩阵中第j列置换M₂矩阵中第j列，得到矩阵N_j；将矩阵M₁、M₂、N_j中数据导入到随机化Pushover分析程序中计算得到相应的顶点位移矩阵，依次计算得到均值、方差等其他中间运算量，最后，由式(2)、式(3)计算得到各参数的一阶和总体敏感性指标，并据此评估相应参数的敏感性程度。

敏感性计算过程中的关键一环是随机化Pushover分析，其计算过程通过Matlab外部调用SAP2000来实现，流程如图 2所示。先建立分析模型，然后通过句组建立Matlab与SAP2000之间的连接。Matlab外部循环调用SAP2000获得随机化的能力曲线，并将其与随机化的需求谱曲线相交，通过能力谱法中的Procedure B方式^[10]获得性能点。

2 框架结构参数敏感性 2.1 分析模型

模型采用4跨6层的平面钢筋混凝土框架结构，如图 3所示。设计信息为：结构抗震设防烈度为8度(0.2 g)，场地类别为三类，设计地震分组为第二组，其余信息如表 1所示。经PKPM计算得到该平面框架梁柱详细配筋信息如图 4所示。

2.2 随机变量参数

笔者分析了包括混凝土抗压强度f_c，钢筋屈服强度f_y，钢筋抗拉强度f_s，混凝土弹性模量E_c，钢筋弹性模量E_s和水平地震影响系数最大值α_max共6个随机变量，在8度下各参数统计情况如表 2所示。

2.3 分析结果

根据表 2中6个随机变量分布类型，分别对其进行3组抽样计算，每组选取2个1 000×6阶样本矩阵，共计算24 000次。第一组抽样的M₁、M₂样本矩阵值如图 5所示。其中，横坐标1~6依次代表混凝土抗压强度、钢筋屈服强度、钢筋抗拉强度、水平地震影响系数最大值、混凝土弹性模量，钢筋弹性模量。

为方便对比各随机变量抽样值，图 5中以混凝土抗压强度样本值为标准，其余各随机变量样本值大小均经处理，如钢筋屈服强度和抗拉强度样本值缩小10倍，水平地震影响系数最大值样本值扩大20倍，混凝土弹性模量样本值缩小1 000倍以及钢筋弹性模量样本值缩小10 000倍。

完成抽样后，将各随机变量的抽样值循环代入基于SAP2000模型编制随机化Pushover分析的Matlab程序中，求解得到框架相应的顶点位移值。图 6为第一组计算顶点位移结果，其中样本次序1~8分别代表抽样的M₁和M₂矩阵样本计算的顶点位移值以及依次经置换后的6个样本矩阵N_j计算的顶点位移值。

图 6中，各顶点位移矩阵数值整体分布大致相同。从图中可以看出，在0.09~0.10区间内，数据分布较为密集，在0.10~0.12区间内，数据分布最为集中；在0.12~0.15区间内，数据分布逐渐稀疏；而在0.15~0.24区间内，数据分布最为稀疏。在文中条件下，结果显示随机化Pushover分析的顶点位移矩阵具有较好的稳定性，即顶点位移分布能保持一致。另外根据式(2)和式(3)计算即可得到一阶敏感性指标S_i(如图 7所示)和总体敏感性指标S_Ti(如图 8所示)。

表 3为第1组抽样计算所得敏感性指标。从表中可知，一阶敏感性指标中，水平地震系数最大值最大，且接近1.0，而其他5个随机变量指标值很小，接近于0；总体敏感性指标中，水平地震系数最大值最大，且接近1.0，而其他5个随机变量指标值很小，近似于0。根据文献[9]中定义，随机变量的输入对于模型输出的重要性程度可以划分为4个等级：当S_Ti>0.8时，非常重要；当0.5 < S_Ti < 0.8时，重要；当0.3 < S_Ti < 0.5时，不重要；当S_Ti < 0.3时，不相关^[9]。因此，图中数据表明水平地震影响系数最大值对于顶点位移的影响最大，而其他5个随机变量则影响很小，即不相关。

文中为防止随机抽样的偶然性，共进行了3组计算，并将其敏感性计算结果标记在图 7与图 8中。从3组计算结果图中可以发现，水平地震影响系数最大值的一阶敏感性指标接近于1.0，总体敏感性接近于0.8，而其他5个随机变量敏感性指标值都很小，均接近于0。这说明，水平地震影响系数最大值对于顶点位移最重要，而其他5个参数则相对不敏感。

3 算例分析

通过对表 3各参数敏感性指标比较，进一步验证结构随机化Pushover分析中，水平地震影响系数对于顶点位移的重要性，而其他参数不相关。

3.1 算例一多层框架结构

使用2.1小节中的模型，首先，分为2组抽样，第1组考虑2.2小节中包括水平地震影响系数最大值1内的6个随机变量参数，第2组仅考虑水平地震影响系数最大值一个随机变量参数，并将其余参数固定在其均值处。每组抽取1 000个样本，分别进行随机化Pushover分析，得到其顶点位移矩阵，如图 9(a)所示。从图中可以看出，2组数据分布保持一致，大致成矩形状三角形变化，端部略有差异。随着顶点位移值的增加，其分布密度逐渐减小。通过最大熵法^[14]将图 9(a)中数据拟合成顶点位移概率密度曲线，如图 9(b)所示。然后，将仅考虑水平地震影响系数最大值的概率密度函数和考虑6个随机变量的概率密度函数相减，可得差值曲线，如图 9(c)所示。

图 9(b)、9(c)表明，2条曲线整体和数值上接近，且两者间最大差值也仅为0.001。由此可见，对于多层结构而言，随机化Pushover分析并统计拟合的2条概率密度曲线相差不大，证明了水平地震影响系数最大值对顶点位移是最重要的，而其他参数的影响较小，可固定在其均值处。

3.2 算例二高层框架结构

建立1个4跨11层的平面钢筋混凝土框架结构模型，如图 10所示，其余参数和第二节中模型相同。配筋信息如图 11所示。

和算例一计算过程类似，分成2组，第1组考虑包括水平地震影响系数最大值在内的6个随机变量参数，第2组仅考虑水平地震影响系数最大值一个随机变量参数，并将其余参数固定在其均值处，每组抽取1 000个样本，然后依据图 2进行随机化Pushover分析计算顶点位移矩阵，如图 12(a)所示。

由图 12(a)中数据对比可知，2组顶点位移数据分布趋于一致，呈矩形状逐渐减小，端部略有不同。将其通过最大熵法拟合成顶点位移概率密度函数示于图 12(b)，然后将其仅考虑水平地震影响系数最大值的概率密度函数减去考虑6个随机变量的概率密度函数，得其函数差值如图 12(c)所示。从图 12(b)、12(c)中可以知道，2条曲线整体分布非常接近，且在中间位置出现最大差值也仅为0.002。通过2组顶点位移数据和其差值可知，高层结构的随机化Pushover分析中，水平地震影响系数最大值仍是6个随机变量中的最为重要的因素，而其他5个随机变量影响较小，可固定在其均值处。即随机化Pushover分析中，可以仅考虑水平地震影响系数最大值，而将其他随机变量固定在其均值处。

4 结果分析

1) 多层和高层框架结构分析数据显示，两者随机化Pushover计算的顶点位移矩阵数据密度分布接近，均呈现矩形状逐级递减型分布。不同的是，在考虑包括水平地震影响系数最大值在内的6个随机变量参数和仅考虑水平地震影响系数最大值一个随机变量参数的抽样中，多层函数差值仅为0.001，高层函数差值也仅为0.002，由此说明，水平地震影响系数最大值对结构顶点位移的影响最大，而其他参数可固定在均值处。当仅考虑水平地震影响系数最大值这一随机变量时，计算误差将会随着结构高度的上升而增加。

2) 算例抽取2组各1 000个样本，随机化分析得到了各样本值对应的顶点位移矩阵，从而确定该随机变量的概率密度曲线。相比于确定性分析结果的唯一性，该概率密度函数更能反映结果的随机性，同时从概率上讲，其顶点位移值均分布于确定性分析的均值周围。

3) 目前对于RC框架结构的Pushover分析和参数灵敏度分析研究现状，大多采用一次二阶矩法、Tornado图形法等方法来求解随机变量的敏感性。而文中创新点是通过调用SAP2000的随机化Pushover分析结果，结合Sobol方法编制Matlab程序，为灵敏度分析提供了有效途径。

5 结论

1) Sobol法对结构随机化Pushover分析得出的敏感性结果与验证模型的结果一致，表明Sobol法对于随机化Pushover方法中参数敏感性分析是适用的，同时进一步验证了地震需求曲线敏感度远大于能力曲线敏感度的结论。

2) 多层框架结构在8度抗震设防烈度下，综合考虑概率Pushover分析方法中随机变量对顶点位移的影响。在这些因素中，水平地震影响系数最大值对于随机化Pushover分析中顶点位移的敏感性最大，重要性最强，而其他因素对顶点位移相对不敏感。

3) 水平地震影响系数对于多、高层框架结构影响最大，而其他因素影响较小。为简化计算过程，在研究概率Pushover分析时，可以将其他因素固定在均值处，仅取水平地震影响系数为随机变量也可获得较好精度。