Büttiker等^[1]在1983年预言了静态磁场在孤立的介观金属环中会产生持续的电流。随后Chandrasekhar等^[2]在1991年首次在实验中观测到了周期为Ф₀的磁通中孤立环里的持续电流。该持续电流不仅仅存在于介观金属环内, 还广泛存在于其他环形^[3-4]和圆柱形^[5]体系中, 比如石墨烯纳米环^[6-7]、环状碳纳米管^[8]、碳纳米管^[9]和多壁碳纳米管^[10]等量子体系。准一维纳米材料碳纳米卷^[11-12]在理论上也可以弯曲后首尾相接, 成封闭的环状碳纳米卷(toroidal carbon nanoscrolls, TCNS), 该环状体系中的持续电流目前很少有相关理论研究及报道。

笔者在TCNS紧束缚模型基础上, 采用数值计算的方法系统地研究了扶手椅(armchair)型和锯齿(zigzag)型2种TCNS(即TACNS和TZCNS)的持续电流, 并详细地讨论了TCNS的几何结构、分离能级、温度及塞曼效应对持续电流的影响, 得到了一些有意义的结论, 为TCNS的实验研究提供理论基础。

1 前言

TCNS横截面内卷环结构可以用阿基米德螺线ρ =r_aφ +r^[13]描述, 式中:ρ为极径; r_a为阿基米德螺旋线系数; φ为极角; r为卷的最内圈半径。当TCNS的尺寸比较大时, 可以忽略卷曲效应, 只考虑成键π轨道和反成键π ^*轨道。根据二维石墨烯能量色散关系^[13], 考虑卷口及磁场中卷环的圆周方向上的周期性边界条件^[13-15] :k · C_h=2πj -θ, k · C_t=2π(l +Φ/Φ₀) (其中卷口圆周矢量C_h =ma₁ +na₂, 卷环圆周矢量C_t = pa₁ +qa₂, 这里m, n, p, q均为整数, 常用来表征TCNS; a₁, a₂为石墨烯蜂窝点阵单位矢量; θ为结构参数; Φ为磁通量; k为波矢)可推导出磁场中高对称的锯齿型TZCNS(m, 0, p, -2p)和扶手椅型TACNS(m, m, p, -p)的能量色散关系^[16]分别为:

$ E(j,l,\Phi ,\theta ) = \pm {\gamma _0}{\left\{ {1 \pm 4{\rm{cos}}\left[ {\frac{{\pi (l + \frac{\Phi }{{{\Phi _0}}})}}{p}} \right] \cdot {\rm{cos}}\left[ {\frac{{\pi (j - \frac{\theta }{{2\pi }})}}{m}} \right] + 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left[ {\frac{{\pi (j - \frac{\theta }{{2\pi }})}}{m}} \right]} \right\}^{\frac{1}{2}}}, $

(1)

$ E(j,l,\Phi ,\theta ) = \pm {\gamma _0}{\left\{ {1 \pm 4{\rm{cos}}\left[ {\frac{{\pi (l + \frac{\Phi }{{{\Phi _0}}})}}{p}} \right] \cdot {\rm{cos}}\left[ {\frac{{\pi (j - \frac{\theta }{{2\pi }})}}{m}} \right] + 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left[ {\frac{{\pi (l + \frac{\Phi }{{{\Phi _0}}})}}{p}} \right]} \right\}^{\frac{1}{2}}}, $

(2)

式中:γ₀约等于3.033 eV, 表示最近邻的跃迁积分; Ф₀ = h/e, 这里h为普朗克常数, e为电子电荷; (j, l)为电子状态指数, j =1, 2, …, 2m, l =1, 2, …, 2p。显然, E (j, l, Ф/Ф₀, θ) =E (j, l -1, Ф/Ф₀ +1, θ), 即E (j, l, Ф, θ)是以Ф₀为周期随Ф变化的周期性函数, 所以后面关于持续电流的讨论就可以限定在一个周期内。

根据式(1)和(2)可以直接计算TZCNS和TACNS内总的持续电流^{[8, 17]} :

$ I(\Phi , T) = - \sum\limits_{j, l} {f\left[ {E\left( {j, l, \Phi , \theta } \right)} \right]} \cdot{i_{j, l}}, $

(3)

T为温度; $ f\left[ {E\left( {j, l, \Phi , \theta } \right)} \right] = \frac{1}{{\exp \left\{ {\beta \left[ {E\left( {j, l, \Phi , \theta } \right) - \mu \left( {T, \Phi } \right)} \right]} \right\} + 1}}$为Fermi-Dirac分布函数, 用来描述TCNS中电子占据态的分布情况, 其中β = (K_BT)^-1, K_B为Boltzmann常数, μ (T, Φ)为化学势, 在T =0 K时μ =0 eV, 并且由于占据态和未占据态具有对称性, μ将不随T和Ф变化而发生变化^{[8, 17]}; i_{j, l}为TCNS能量本征态可能承载的持续电流^[18-20] :

$ {i_{j, l}}\begin{array}{*{20}{l}} { = - } \end{array}\frac{{\partial E\left( {j, l, \begin{array}{*{20}{l}} \Phi \end{array}, \theta } \right)}}{{\partial \Phi }}。$

(4)

将式(1)和(2)带入式(4)可得:

$ \frac{{\begin{array}{*{20}{l}} {\partial E{{(j,l,\Phi ,\theta )}_{TZCNS}}} \end{array}}}{{\partial \Phi }} = \frac{{\begin{array}{*{20}{l}} { \mp 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{\gamma _0}{\rm{sin}}\left[ {{\rm{ \mathsf{ π} }}(l + \begin{array}{*{20}{l}} {\Phi /{\Phi _0})/p} \end{array}} \right]\left\{ { \pm \cos \left[ {{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {j - \theta /2{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right)/m} \right]} \right\}} \end{array}}}{{p{\Phi _0}{{\left\{ {1 \pm 4\cos \left[ {\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {l + \Phi /{\Phi _0}} \right)}}{p}} \right]\begin{array}{*{20}{l}} { \bullet {\rm{cos}}} \end{array}\left[ {\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {j - \theta /2{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right)}}{m}} \right] + 4{{\cos }^2}\left[ {\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {j - \theta /2{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right)}}{m}} \right]} \right\}}^{\frac{1}{2}}}}}, $

(5)

$ \frac{{\begin{array}{*{20}{l}} {\partial E{{(j,l,\Phi ,\theta )}_{TZCNS}}} \end{array}}}{{\partial \Phi }} = \frac{{\begin{array}{*{20}{l}} { \mp 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{\gamma _0}{\rm{sin}}\left[ {{\rm{ \mathsf{ π} }}(l + \begin{array}{*{20}{l}} {\Phi /{\Phi _0})/p} \end{array}} \right]\left\{ { \pm \cos \left[ {{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {j - \theta /2{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right)/m} \right]} \right\} + 2\cos \left[ {{\rm{ \mathsf{ π} }}(l + \begin{array}{*{20}{l}} {\Phi /{\Phi _0})/p} \end{array}} \right]} \end{array}}}{{p{\Phi _0}{{\left\{ {1 \pm 4\cos \left[ {\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {l + \Phi /{\Phi _0}} \right)}}{p}} \right]\begin{array}{*{20}{l}} { \cdot {\rm{cos}}} \end{array}\left[ {\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {j - \theta /2{\rm{ \mathsf{ π} }}} \right)}}{m}} \right] + 4{{\cos }^2}\left[ {\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}(l + \begin{array}{*{20}{l}} {\Phi /{\Phi _0})} \end{array}}}{p}} \right]} \right\}}^{\frac{1}{2}}}}}。$

(6)

结合式(3), 从式(5)和(6)分母的二次根式可知, 持续电流和E (j, l, Φ, θ) /γ₀成反比, 这说明费米能附近的能级对持续电流贡献较大, 其他能级贡献较小。因此, 能隙E_g较大的TCNS几乎观察不到持续电流, 比如TZCNS(18, 0, 2887, -5 774)在θ =2π/3时E_g=0.495 eV, 当Ф变化一个周期, E_g仅变化了7 μeV^[16], 对应持续电流I约为10^-18 A。所以为了方便研究, 本研究中将主要讨论金属型及能隙较小的半导体型TCNS。

另外, 在磁场中讨论能量色散关系时, 一般来说还应考虑塞曼效应, 即π电子的自旋—磁场相互作用的能量^{[17, 21]} :$ E(\sigma ,\Phi ) = \frac{{g\sigma \Phi }}{{{m_{\rm{e}}}{R^2}{\Phi _0}}}, $其中g为朗德因子(≈2), σ = ±1 /2为电子自旋, m_e为电子质量, $ R = a\sqrt {{p^2} + pq + {q^2}} /2\pi , $为卷环半径(a = 0.246 nm是石墨烯的晶格常数), 则总的能量色散改写为: E (j, l, σ, Φ, θ) =E (j, l, Φ, θ) +E (σ, Φ)。一般来说在Φ不大的情况下, E (σ, Φ)取值比较小, 塞曼效应可以不予考虑, 例如TACNS(16, 16, 2887, -2 887)在Φ =Φ₀时E (σ, Φ) ≈5.98×10^-6eV。

2 前言 2.1 前言

图 2显示了TZCNS及TACNS内持续电流随磁通变化的情况。通过对比很容易发现, 不管是TZCNS还是TACNS, 其内部的持续电流I数量级仅为10^-7A, 其主要原因是TCNS有些能态承载的持续电流相互抵消了, 比如TACNS, 仅有(j =m+θ/2π, l＜p/3)及(j =m +θ/2π, l ≥2p/3)能级对持续电流有较大贡献, 而其他能级(j =m, p/3≤l＜2p/3)及(j ≠m, l)因为承载的持续电流相互抵消或远离费米能级而贡献很小。

TZCNS与TACNS内持续电流随磁通变化的规律并不完全相同。首先是持续电流方向不完全相同, 比如在一个周期内, 当Ф比较小时, TZCNS及p =3i (i为整数)TACNS的持续电流为正, 但p ≠3i TACNS的持续电流为负, 如图 2所示, 这说明前者具有顺磁性, 后者具有抗磁性。另外, TZCNS的持续电流变化都呈线性关系, 而TACNS则出现了曲线, 这主要是由它们的能隙在磁场中不同的变化规律引起, 比如TZCNS的E_g=0 eV都出现在Ф =iФ₀处, 而TACNS则有2种可能, 如果是p =3i的金属型, 则E_g =0 eV出现在Ф =iФ₀处, 如果是p ≠3i的半导体型, 则最小能隙出现在Ф =(i ±1/3)Ф₀处。由于费米能附近的能级对持续电流的贡献最大, 也最容易受到磁场的影响, 因此半导体型TACNS在(i ±1/3)Ф₀处发生越变从而形成了曲线。这种在Ф =iФ₀和Ф =(i ±1/3)Ф₀处容易受影响的表现, 在考虑温度或塞曼效应影响时还会再次出现。

卷环周长对持续电流有重要的影响, 随着卷环周长增大, TZCNS及TACNS内的持续电流都逐渐减小, 如图 2(a)中m =16的TZCNS, 随着p =2 887, 3 887, 4 887取值增大, 持续电流明显减小, 图 2(b)中m =16的TACNS随着p取值增大也有类似的现象。另外, 当卷环周长相同时, 持续电流大小相等, 比如图 2(a)中p =2 887的TZCNS在m =16, 32时, 持续电流曲线重合, 其大小完全相同; 图 2 (b)中m =16, 18的TZCNS在p =2 886时持续电流曲线也完全重合。这些现象说明持续电流大小与卷环周长密切相关, 而与卷口大小无关。

另外值得注意的是, 除了卷环周长, 结构参数θ对持续电流也有很大的影响。对比图 2(a)m =18, p =1 666的TZCNS与图 2(b)中m =16, p =2 886的TACNS, 可以发现, 尽管TCNS类型不同, 可当两者卷环周长相等, 结构参数θ都取值2π时, 持续电流曲线完全相同; 而图 2(a)中m =16, 18的TZCNS虽然TCNS类型相同, 也具有完全相同的卷环周长(p =2 887), 但持续电流却完全不同, 其主要原因是它们的结构参数θ不同, 分别取值2π/3和2π。

2.2 前言

图 3显示了TZCNS及TACNS各分离能级对持续电流的贡献。对于TZCNS, 其持续电流几乎都是由j =m/3+θ/2π及2m/3+θ/2π能级贡献的, 比如图 3(a)中的m =7, 13能级, 其上承载的持续电流大小相等, 相加后几乎和总持续电流重合, 而远离费米能级的m =8, 9能级, 其上持续电流I约为10^-19A, 大约只占总电流的千亿分之一, 如图 3 (b)所示。TACNS也有类似的规律, 有主要贡献的能级是j =θ/2π及m +θ/2π, 如图 3(c)和(d)。以上现象说明各分离能级中, 靠近费米能级的能级对持续电流有主要贡献, 其他能级贡献非常小, 其变化规律与式(5)和(6)的结论完全相同。

2.3 前言

温度没有改变持续电流的周期性和对称性, 如图 4(a)和(b)所示, 这点还可以从式(1)和(2)看出, 温度没有影响TCNS的电子结构。当T ≠0 K, 电子受热激发影响, 将占据E (j, l, Φ, θ) >0的能级, 其上产生的持续电流和E (j, l, Φ, θ)＜0能级承载的持续电流方向相反, 从而会出现相互抵消的现象。随着温度逐渐升高, 抵消越显著, 总的持续电流下降幅度越大, 如图 4所示。卷环越大受温度影响越明显, 电流消失得越快。对于p =2 887的TACNS, 当T =30 K时I约为10^-10A, 而p =2887的TZCNS在T =17 K时就已经降到此数量级, 此时的持续电流太小, 几乎消失, 如图 4(c)和(d)所示。另外, 随着温度升高, 持续电流变化最显著的位置出现在Ф =iФ₀和Ф = (i ±1/3)Ф₀处, 该现象和几何结构影响分析结果一致。

2.4 塞曼效应的影响

在Φ比较大的情况下, 还必须考虑塞曼效应的影响。图 5显示的是T=0K、Ф =100Ф₀ ~102Ф₀时, 考虑塞曼分裂后的持续电流变化情况。由于自旋-磁场相互作用, 自旋向下的能态能量降低, 变为占据态, 而自旋向上能态的能量升高, 变为非占据态, 使TCNS能级出现了新的越变, 该越变跨过了费米能级, 产生了新的金属→半导体转变, 从而导致对应能级的持续电流也出现了新的越变。通过比较图 4, 可以发现在Ф = iФ₀和Ф =(i ±1/3)Ф₀附近持续电流出现了新的越变, 新越变的具体位置可由E (j, l, Φ, θ) =E (σ, Φ)给出。另外还发现, 考虑塞曼效应后, 在每个周期内Φ取值较小时, TZCNS及p =3i TACNS从顺磁性都变为抗磁性。

3 结论

在紧束缚模型的基础上, 导出了相应的持续电流表达式, 并系统地研究了TCNS几何结构、分离能级、温度及塞曼效应对持续电流的影响。结果表明, 在每个周期内Φ取值较小时, TZCNS及p =3i TACNS具有顺磁性, p ≠3i TACNS具有抗磁性; 卷环周长及结构参数θ对持续电流有重要影响, 随着卷环周长增大, TCNS内的持续电流逐渐减小; TZCNS的j =m/3+θ/2π及2m/3+θ/2π能级, TACNS的j =θ/2π及m +θ/2π能级都靠近费米能级, 它们几乎承载了所有持续电流, 而远离的其他能级贡献非常小; 随着温度升高, 持续电流急剧减小, 卷环越大, 持续电流下降得越快, 当T ≥30 K时, p =2 887 TACNS的持续电流几乎消失; 对于较大的Φ, 考虑塞曼效应后, TCNS能级出现了新的越变, 并跨过了费米能级, 从而导致持续电流在Ф =iФ₀和Ф =(i ±1/3)₀^Ф附近出现了新的越变。